Question

已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上

已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE=∠DBM．
（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AE=√2MD；【← ←这道题不用做 我会】
（2）如图2，当∠ABC=60°时，延长BM到点p,使MP=BM，AD与CP交于点N，若AB=√7，BE=√3【1】求证BP⊥CP，【2】求AN的长【←重点是这道题啊 这么做啊求解⊙︿⊙急急急！】
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#大神们都去哪儿了#

Answer 1

解：第（1）题会做就不详解了哦。只要证△ABE∽△DBM，就得到EA：MD=AB：BD=√2：1就行了。
（2）【1】因为∠BAE=∠BDF，∠AFE=∠DFB（对顶角）所以△AEF∽△DBF
所以EF：FA=BF：FD，由∠BFE=∠DFA（对顶角），可证△BEF∽△ADF
所以∠BEF=∠DAF=30°（三角形ABC是等腰三角形，且∠ABC=60°，所以是等边三角形，D是中点，由三线合一得到）
而∠MBE=∠FBE+∠FBM=∠DBM+∠FBM=60°
所以∠DMB=∠MBE+∠BEF=90°
又因为D、M分别是BC、BP的中点，所以DM是△BPC的中位线，所以DM∥CP
所以∠P=90°，即BP⊥CP
【2】过P作PO⊥BC交BC于O
由第（10题的方法，可证明△ABE∽△DBM，可得BE：BM=AB：BD=2：1，
所以BP=BE=2BM=√3
由Rt△BPC中，PO是高，则由勾股定理可求出PC=2（BC=AB=√7，BP=√3）
且Rt△BPC与Rt△BOP、Rt△NDC都相似
由相似比可求出：PO=2√21/7，BO=3√7/7，CO=4√7/7，DN=√21/4
而AD=√21/2，所以AN=√21/4

（时间仓促，自己再算一下，怕计算有误，但方法应该没错）