Question

考研数学微分方程初值问题。 yy''=1+（y'）^2。。。已知y（1）=1，y'（1）=0 为什

考研数学微分方程初值问题。
yy''=1+（y'）^2。。。已知y（1）=1，y'（1）=0
为什么我最后求的dy/√（y^2-1）=±dx结果是两个，而答案却能综合到一个y=（e^（x-1）+e^（1-x））/2？？？

Answer 1

解：设y'=p，则y''=p(dp/dy)
代入原方程得yp(dp/dy)=1+p
==>pdp/(1+p )=dy
==>ln(1+p )=2ln│y│+C (C是积分常数)
∵y(1)＝1，y'(1)=0
∴当x=1时，p=1 ==>C=0
∴ln(1+p )=2ln│y│
==>1+p =y
==>y'=√(y -1)，或y'=-√(y -1)
==>dy/√(y -1)=dx，或dy/√(y -1)=-dx
==>ln│y+√(y -1)│=x+C，或ln│y+√(y -1)│=-x+C （C是积分常数）
∵y(1)＝1
∴C=-1，或C=1
==>y+√(y -1)=e^(x-1)，或y+√(y -1)=e^(1-x)
故原方程满足初值的解是y+√(y -1)=e^(x-1)，或y+√(y -1)=e^(1-x)。

追问

你的答案恰到好处的避过了我的问题的关键

Answer 2

两个特解的通解啊。

追问

但是他们一个是+x一个是-x的时候对应的两个特解。不就相当于两个不同区间的解了吗。再说左边也还有一个y-√（y^2-1）怎么会变成了y？