Question

F【f（x）】=x²+x求f（x）

Answer 1

f【f(x)-x²+x】=f(x)-x²+x

令u=f(x)-x²+x

则f(u)=u，由于有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0

所以f(x)-x²+x=x0恒成立

即f(x)=x²-x+x0

又因为：有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0
所以方程f(x)-x=0有唯一实根
即x²-2x+x0=0有唯一实根。
△=4-4x0=0
所以x0=1

f(x)=x²-x+1

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Answer 2

这个题应该是一个错题，去年我曾经回答过这个题：

f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x,设有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析式

应该是别人抄错题目了!

【答案】

f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x

∵   有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0

∴   f(x)-x^2+x=x0恒成立

即 f(x)=x^2-x+x0

又∵   有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0

∴  方程f(x)-x=0有唯一实根

即：x^2-2x+x0=0 有唯一实根。

△=4-4x0=0

所以x0=1

从而，f(x)=x^2-x+1