Question

数列｛an｝的通项公式为an={2n+1,n为奇数，2^n,n为偶数，求此数列的前n项和Sn

各位大神详细解释一下

Answer 1

解决此题一定要分情况讨论，即讨论n是奇数还是偶数。

我们可以将Sn分解成技术项和偶数项，分别进行求和。

an=2n+1 (n=1,3,5,7.....)，即3，7，11，15，19……

我们可以等效成bn=4n-1 (n=1,2,3,4,5……）

an=2^n (n=2,4,6,8.....),即4，16，64，256……

我们可以等效成cn=4^n (n=1,2,3,4,5……）

这样，将一个没有固定求和公式的数列分解成两个有固定求和公式的数列。

现在开始讨论。

当n为奇数时，此数列的和为bn的前（n+1)/2项加上cn的前（n-1)/2项。

当n为偶数时，此数列的和为bn的前n/2项加上cn的前n/2项。

仔细想想是不是？

bn数列的求和公式易得：（3+4n-1)*n/2

当n取(n+1)/2时，Sn1=(n+2)(n+1)/2 当n取n/2时，Sn1=（n+1)n/2

cn数列的求和公式易得：4(4^n-1)/(4-1)

当n取(n-1)/2时，Sn2=2^(n-1) 当n取n/2时，Sn2=2^n

所以，当n为奇数时，Sn=2^(n-1)+(n+2)(n+1)/2
当n为偶数时，Sn=2^n+(n+1)n/2