Question

初等数论的几个问题

（1）证明：当n是奇数时，3|2^n+1;当n是偶数时，3不能整除2^n+1
（2）求使2^n+1能被5整除的一切正整数n，并证明你的结论
（3）设n>0，证明5不整除（1^n+2^n+3^n+4^n)的充分必要条件是4|n
（4）当a,b都是奇数时，3^a+(b-c)²c是奇数还是偶数
（5）设n≥2，证明101010……1（其中有n个0）是合数
（6）设n≥1，证明7^(2^n)同余1（mod2^(n+2))
(7)今天是星期四，过了789……789(15个789）天后是星期几

Answer 1

（1）n是奇数，2^n=2^（2k+1）=4^k *2
4^k模3余1,2* 4^k模3余2，故3| （2^n+1）

如果n是偶数，（2^n+1）=4^s +1 除3余2
（2）2^n 除5余4即可，也就是4* 2^（n-2） 除5余4即可
也就是
2^（n-2） 除5余1即可
根据费马小定理，得到n-2=4+5k
从而n=5s+1，s>0的整数 即可
（3）必要性显然，充分性5卜（1^n+2^n+3^n+4^n
）
讨论一下n除以4的余数即可，用一用费马小定理求出
1^n，2^n，3^n，4^n除以5的余数就是了
（4）3^a是奇数，(b-c)² *c是偶数，故结果是偶数

楼主你题目太多了，悬赏又那么低，慢慢给你做

Answer 2

(1)当n是奇数时，令n=2k+1, k整数, k≥0, 2ⁿ+1≡2×4ᴷ+1≡2×1ᴷ+1≡2+1≡0 (mod 3), 这里关键是4ᴷ≡1ᴷ≡1 (mod 3), 即整除3的特征不受k的变化影响, 故3整除2ⁿ+1. 同理, 当n是偶数时，令n=2k, k整数, k≥0, 2ⁿ+1≡4ᴷ+1≡1ᴷ+1≡2 (mod 3), 故3不能整除2ⁿ+1.
(2)即满足5|2ⁿ+1的值. 2ⁿ≡2ⁿ⁺⁴ (mod 10), 所以2的个位是步长为4的周期数列{2, 4, 8, 6), 其中当n=2, 6, 10……时2ⁿ+1是5的倍数, 即n=2k+4, k是整数, k≥0.
(4) 令a=2m+1, b=2n+1, m≠n, m, n是整数, 3^a+(b-c)²c=3×9^m+(2n+1+c)²*c, 3×9^m奇数, 若c奇数, (2n+1+c)²偶, (2n+1+c)²*c偶, 若c偶数, (2n+1+c)²奇, (2n+1+c)²*c偶, 故3^a+(b-c)²c=奇数+偶数=奇数.