Question

初等数论问题？？

有关Dirichlet乘积的，m是>=1的整数，证明当ω（n）>m时（即n的标准分解式中不同素因子的个数大于m），上面图片中的值等于0
其中μ（d）为，若d标准分解式=p1*p2....*ps,则μ（d）=（-1）^s,就是可以分解成互不相等的一次素因子乘积，d取其他值时函数值为0

Answer 1

虽然问题本身确实是数论, 但是本质上是证明一个代数恒等式.

追问

额 没看懂 用到线性代数知识了 而且你这个证得不太对吧 你这最后证出是零多项式了 那岂不是x1到xt取任意值原式都成立了？？？ 这肯定不可能吧

追答

就是对任意值都成立, 所以我说本质上是一个恒等式.
以m = 2, t = 3为例, 就是如下恒等式:
-x1²-x2²-x3²+(x1+x2)²+(x1+x3)²+(x2+x3)²-(x1+x2+x3)² = 0.
不相信的话可以再试几个例子, 只要t > m就没问题.

具体是哪里不懂?
前面都是恒等变形, 只有最后一段用到一点多项式的整除理论.
我试着重新解释如下:
首先, 易见F(x1,...,xt)-F(0,...,xt)的各项都含x1.
即存在多项式G(x1,...,xt)使F(x1,...,xt)-F(0,...,xt) = x1·G(x1,...,xt).
而前面证明了多项式F(x1,...,xt)当x1 = 0时总取0,
即F(0,...,xn)作为x2, x3,..., xt的多项式是零多项式(数域上的非零多项式总有非零值).
所以F(x1,...,xt) = x1·G(x1,...,xt).

由对称性, F(x1,...,xt)也能提出因子x2.
但x2与x1互素, 只有G(x1,...,xt) = x2·H(x1,...,xt).
F(x1,...,xt) = x1x2·H(x1,...,xt).
依此类推, 可以从F(x1,...,xt)中逐一提出因子x3,..., xt.
得到F(x1,...,xt) = x1x2...xt·P(x1,...,xt).
如果P(x1,...,xt)不是零多项式, 上式右端的次数 ≥ t > m.
与左端次数 ≤ m矛盾, 因此只有P恒等于0, 进而有F恒等于0.

如果有任何疑问, 欢迎追问.