Question

已知抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线 y= 5 4

已知抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线 y= 5 4 作垂线，垂足为M，连FM（如图）．（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x=1上有一点 F(1， 3 4 ) ，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立？若存在请求出t 值，若不存在请说明理由．

Answer 1

（1）抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O， 可得- b 2a =1， 4ac- b 2 4a =1，c=0， ∴a=-1，b=2，c=0． （2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x 2 +2x， 故设P点的坐标为（m，-m 2 +2m），则M点的坐标（m， 5 4 ）， ∵△PFM是以PM为底边的等腰三角形 ∴PF=MF，即（m-1） 2 +（-m 2 +2m- 3 4 ） 2 =（m-1） 2 +（ 3 4 - 5 4 ） 2 ∴-m 2 +2m- 3 4 = 1 2 或-m 2 +2m- 3 4 =- 1 2 ， ①当-m 2 +2m- 3 4 = 1 2 时，即-4m 2 +8m-5=0 ∵△=64-80=-16＜0 ∴此式无解 ②当-m 2 +2m- 3 4 =- 1 2 时，即m 2 -2m=- 1 4 ∴m=1+ 3 2 或m=1- 3 2 Ⅰ、当m=1+ 3 2 时，P点的坐标为（1+ 3 2 ， 1 4 ），M点的坐标为（1+ 3 2 ， 5 4 ） Ⅱ、当m=1- 3 2 时，P点的坐标为（1- 3 2 ， 1 4 ），M点的坐标为（1- 3 2 ， 5 4 ）， 经过计算可知PF=PM， ∴△MPF为正三角形， ∴P点坐标为：（1+ 3 2 ， 1 4 ）或（1- 3 2 ， 1 4 ）． （3）当t= 3 4 时，即N与F重合时PM=PN恒成立． 证明：过P作PH与直线x=1的垂线，垂足为H， 在Rt△PNH中， PN 2 =（x-1） 2 +（t-y） 2 =x 2 -2x+1+t 2 -2ty+y 2 ， PM 2 =（ 5 4 -y） 2 =y 2 - 5 2 y+ 25 16 ， P是抛物线上的点， ∴y=-x 2 +2x；∴PN 2 =1-y+t 2 -2ty+y 2 =y 2 - 5 2 y+ 25 16 ， ∴- 3 2 y+2ty+ 9 16 -t 2 =0，y（2t- 3 2 ）+（ 9 16 -t 2 ）=0对任意y恒成立． ∴2t- 3 2 =0且 9 16 -t 2 =0， ∴t= 3 4 ， 故t= 3 4 时，PM=PN恒成立． ∴存在这样的点．

Answer 2

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