Question

（2012?无锡）如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直

（2012?无锡）如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长（　　）A．等于42B．等于43C．等于6D．随P点位置的变化而变化

Answer 1

解：连接NE，
设圆N半径为r，ON=x，则OD=r-x，OC=r+x，
∵以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，
∴OA=4+5=9，0B=5-4=1，
∵AB是⊙M的直径，
∴∠APB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠BOD=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°，
∵∠PBA=∠OBD，
∴∠PAB=∠ODB，
∵∠APB=∠BOD=90°，
∴△OBD∽△OCA，
∴

OC

OB

=

OA

OD

，
即

r+x

1

=

9

r?x

，
（r+x）（r-x）=9，
r²-x²=9，
由垂径定理得：OE=OF，OE²=EN²-ON²=r²-x²=9，
即OE=OF=3，
∴EF=2OE=6，
故选C．