Question

（1）已知有一条抛物线的形状（开口方向和开口大小）与抛物线y=2x 2 相同，它的对称轴是直线x=-2；且当x=

（1）已知有一条抛物线的形状（开口方向和开口大小）与抛物线y=2x 2 相同，它的对称轴是直线x=-2；且当x=1时，y=6，求这条抛物线的解析式．（2）定义：如果点P（t，t）在抛物线上，则点P叫做这条抛物线的不动点．①求出（1）中所求抛物线的所有不动点的坐标；②当a、b、c满足什么关系式时，抛物线y=ax 2 +bx+c上一定存在不动点．

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为y=ax 2 +bx+c（a≠0） 由已知可得a=2，∴ - b 4 =-2 6=2+b+c ． 解得：b=8，c=-4 ∴抛物线的解析式为y=2x 2 +8x-4（2分） （2）①设P（t，t）是抛物线的不动点，则2t 2 +8t-4=t 解得： t 1 = 1 2 ， t 2 =-4 ，∴不动点 P 1 ( 1 2 ， 1 2 )， P 2 (-4，-4) （4分） ②设P（t，t）是抛物线的不动点，则at 2 +bt+c=t ∴at 2 +（b-1）t+c=0 ∴当（b-1） 2 -4ac≥0时，这个方程有实数解， ∴当△=（b-1） 2 -4ac≥0时，抛物线上一定存在不动点．（6分）