Question

已知S n 是等比数列{a n }的前n项和，S 4 ，S 2 ，S 3 成等差数列，且a 2 ＋a 3 ＋a 4 ＝－18.(1)求数列{

已知S n 是等比数列{a n }的前n项和，S 4 ，S 2 ，S 3 成等差数列，且a 2 ＋a 3 ＋a 4 ＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．

Answer 1

(1) a n ＝3×(－2) n －1   (2) 存在，{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}，理由见解析

解：(1)设数列{a n }的公比为q，则a 1 ≠0，q≠0.由题意得 即 解得 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2) n －1 . (2)由(1)有S n ＝ ＝1－(－2) n . 若存在n，使得S n ≥2 013，则1－(－2) n ≥2 013，即(－2) n ≤－2 012. 当n为偶数时，(－2) n >0，上式不成立； 当n为奇数时，(－2) n ＝－2 n ≤－2 012， 即2 n ≥2 012，则n≥11. 综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．