Question

已知函数f（x）=ln x-ax （a∈R，a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[1，2]上

已知函数f（x）=ln x-ax （a∈R，a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

解   （1）函数f（x）的定义域 为（0，+∞）． f′（x）= 1 x -a= 1-ax x                                           （2分） 因为a＞0，令f′（x）= 1 x -a=0，可得x= 1 a ； 当0＜x＜ 1 a 时，f′（x）= 1-ax x ＞0；当x＞ 1 a 时，f′（x）= 1-ax x ＜0， 故函数f（x）的单调递增区间为（0， 1 a ），单调递减区间为（ 1 a ，+∞）．（4分） （2）①当0＜ 1 a ≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数， ∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．（6分） ②当 1 a ≥2，即0＜a≤ 1 2 时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数， ∴f（x）的最小值是f（1）=-a．（8分） ③当1＜ 1 a ＜2，即 1 2 ＜a＜1时，函数f（x）在（1， 1 a ）上是增函数，在（ 1 a ，2）上是减函数． 又∵f（2）-f（1）=ln2-a， ∴当 1 2 ＜a＜ln 2时，f（x）的最小值是f（1）=-a； 当ln2≤a＜1时，f（x）的最小值为f（2）=ln2-2a．（10分） 综上可知，当0＜a＜ln 2时，函数f（x）的最小值是f（x） min =-a； 当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f（x） min =ln2-2a．（12分）