Question

已知点F是双曲线x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，点C是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲

已知点F是双曲线x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，点C是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABC是锐角三角形，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）A．（1，2）B．（1，+∞）C．(2，1+2)D．(1，1+2)

Answer 1

∵△ABC是锐角三角形
∴∠ACB为锐角
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴
∴∠ACF=∠BCF＜45°
∴AF＜CF
∵F为右焦点，设其坐标为（c，0）
所以A（ c，

b2

a

）
所以AF=

b2

a

，CF=a+c
∴

b2

a

＜a+c即c²-ac-2a²＜0
解得 ?1＜

c

a

＜2
双曲线的离心率的范围是（1，2）
故选A．