Question

设函数f（x）=4sinxsin2（π4+x2）+cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的值域；（2）若对任意x∈[π6，2π

设函数f（x）=4sinxsin2（π4+x2）+cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的值域；（2）若对任意x∈[π6，2π3]，都有|f（x）-m|＜2成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）化简可得f（x）=4sinx?

1?cos( π 2 +x)

2

+cos2x
=2sinx（1+sinx）+1-2sin²x=2sinx+1，
∵x∈R，∴sinx∈[-1，1]，
∴f（x）的值域是[-1，3]
（2）当x∈[

π

6

，

2π

3

]时，sinx∈[

1

2

，1]，∴f（x）∈[2，3]
由|f（x）-m|＜2可得-2＜f（x）-m＜2，
∴f（x）-2＜m＜f（x）+2恒成立．
∴m＜[f（x）+2]_min=4，且m＞[f（x）-2]_max=1．
故m的取值范围是（1，4）．