Question

已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn} 是等比数列，其中a1=2，b1=1，a2=b2，2a4=b3，且存在常数α、β，

已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn} 是等比数列，其中a1=2，b1=1，a2=b2，2a4=b3，且存在常数α、β，使得an=logαbn+β对每一个正整数n都成立，则αβ=______．

Answer 1

a₂=a₁+d=2+d b₂=1×q=q
∵a₂=b₂
∴q=2+d a₄=a₁+3d=2+3d b₃=1×q²=q²
∵2a₄=b₃∴2×（2+3d）=q²=（2+d）² 即 d²-2d=0
∵公差不为0
∴d=2∴q=4∴
a_n=a₁+（n-1）d=2+2×（n-1）=2n
b_n=a₁q^n-1=4^n-1∵a_n=log_αb_n+β
∴2n=log_α4^n-1+β=（n-1）log_α4+β ①
∵①式对每一个正整数n都成立
∴n=1时，得β=2 n=2时，得logα4+2=4，得α=2
∴α^β=2²=4