Question

高数等价无穷小问题

第4题和第5题 注意加减法不能用等价无穷小替换
我看到百度好多答案都是直接替换啊 这样应该不行的吧
求解

Answer 1

第四题，
求出这个极限即可lim(x->0+) [(a^x+b^x)/2]^(1/x)
设y= [(a^x+b^x)/2]^(1/x)
lny=ln[(a^x+b^x)/2] /x

那么用罗比达法则求极限
lim lny= lim ln[(a^x+b^x)/2] /x=lim (a^xlna+b^xlnb)/(a^x+b^x)=(lnab)/2
那么lim(x->0+) [(a^x+b^x)/2]^(1/x) =e^(lim lny)=√ab

所以，根据极限的唯一性，x换成1/n后，极限仍然存在，
原极限=√ab

第五题，
不是用等价无穷小，用的是无穷级数
原极限=lim {[1-(2/3)x+o(x)] -[1+(1/2)x+o(x)]} /(3x)
= -7/18