Question

设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（　　）A．A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关B．A

设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（　　）A．A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关B．A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关C．A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关D．A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关

Answer 1

答案：A。

方法一：

设A为m×n矩阵，B 为n×s矩阵，则由AB=O知：r（A）+r（B）≤n

又A，B为非零矩阵，则：必有rank（A）＞0，rank（B）＞0

可见：rank（A）＜n，rank（B）＜n，即A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关

故选：A。

方法二：

由AB=O知：B的每一列均为Ax=0的解

又因为B为非零矩阵，所以Ax=0存在非零解

从而：A的列向量组线性相关

同理，由AB=O知，BTAT=O

有：BT的列向量组线性相关

所以B的行向量组线性相关

故选A。

问题解析：A，B的行列向量组是否线性相关，可从A，B是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论。

考点：向量组线性相关的判别。

扩展资料：

线性相关的定理

1、向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。

2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。

3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。

4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

5、n+1个n维向量总是线性相关。《个数大于维数必相关》

Answer 2

方法一：
设A为m×n矩阵，B 为n×s矩阵，
则由AB=O知：r（A）+r（B）≤n，
又A，B为非零矩阵，则：
必有rank（A）＞0，rank（B）＞0，
可见：rank（A）＜n，rank（B）＜n，
即A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，
故选：A．

方法二：
由AB=O知：B的每一列均为Ax=0的解，
又∵B为非零矩阵，
∴Ax=0存在非零解，
从而：A的列向量组线性相关．
同理，由AB=O知，B^TA^T=O，
有：B^T的列向量组线性相关，
所以B的行向量组线性相关，
故选A．