设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有( )A.A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关B.A
设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有()A.A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关B.A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关C.A的行向量组线性相关,...
设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有( )A.A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关B.A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关C.A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关D.A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关
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答案:A。
方法一:
设A为m×n矩阵,B 为n×s矩阵,则由AB=O知:r(A)+r(B)≤n
又A,B为非零矩阵,则:必有rank(A)>0,rank(B)>0
可见:rank(A)<n,rank(B)<n,即A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关
故选:A。
方法二:
由AB=O知:B的每一列均为Ax=0的解
又因为B为非零矩阵,所以Ax=0存在非零解
从而:A的列向量组线性相关
同理,由AB=O知,BTAT=O
有:BT的列向量组线性相关
所以B的行向量组线性相关
故选A。
问题解析:A,B的行列向量组是否线性相关,可从A,B是否行(或列)满秩或Ax=0(Bx=0)是否有非零解进行分析讨论。
考点:向量组线性相关的判别。
扩展资料:
线性相关的定理
1、向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。
3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。
4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。
5、n+1个n维向量总是线性相关。《个数大于维数必相关》
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方法一:
设A为m×n矩阵,B 为n×s矩阵,
则由AB=O知:r(A)+r(B)≤n,
又A,B为非零矩阵,则:
必有rank(A)>0,rank(B)>0,
可见:rank(A)<n,rank(B)<n,
即A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关,
故选:A.
方法二:
由AB=O知:B的每一列均为Ax=0的解,
又∵B为非零矩阵,
∴Ax=0存在非零解,
从而:A的列向量组线性相关.
同理,由AB=O知,BTAT=O,
有:BT的列向量组线性相关,
所以B的行向量组线性相关,
故选A.
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