Question

如图，在棱长都等于1的三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，D、E分别为AA1、B1C的中点．（Ⅰ）求证：DE∥

如图，在棱长都等于1的三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，D、E分别为AA1、B1C的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求三棱锥B1-BDE的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取BC中点G，连结AG，EG，
∵G，E分别为CB，CB₁的中点，
∴EG∥

1

2

BB₁，…2 分∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AA₁∥BB₁，AA₁=BB₁，D为AA₁中点
∴AD∥BB₁，AD=

1

2

BB₁，
∴EG∥AD，EG=AD，
∴四边形ADEG为平行四边形
∴AG∥DE   
又∵AG?平面ABC，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC；
（Ⅱ）∵BB₁⊥平面ABC，AG?平面ABC，
∴AG⊥BB₁，
∵AB=BC，G为BC中点，∴AG⊥BC∴AG⊥平面B₁BE
又DE∥AG，DE=AG，
∴DE⊥平面B₁BE且DE=AG=

3

2

∵E为B₁C中点，
∴S△BB1E＝

1

2

S△B1BC＝

1

2

×(

1

2

BC×BB1)＝

1

2

×(

1

2

×1×1)＝

1

4

∴三棱锥B₁-BDE的体积VB1?BDE＝VD?B1BE＝

1

3

S△B1BE?DE＝

1

3

×

1

4

×

3

2

＝

3

24

．