Question

探究：如图①，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，过点E作EM⊥AF交BC于点M，

探究：如图①，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，过点E作EM⊥AF交BC于点M，连结AM．求证：∠DAE=∠MAE．应用：如图②，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E为CD的中点，连结AE，过点E作EM⊥AE交BC于点M，连结AM．若∠EMC=75°，求∠DAE的度数．

Answer 1

探究：∵点E为CD的中点，
∴DE=CE，
∵矩形对边AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，
在△ADE和△FCE中，

∠D＝∠ECF DE＝CE ∠AED＝∠FEC

，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE=EF，∠DAE=∠F，
∵EM⊥AF，
∴EM垂直平分AF，
∴AM=MF，
∴∠MAE=∠F，
∴∠DAE=∠MAE；

应用：在前面的证明中可知，∠AME=∠EMC，
在Rt△AEM中，∠MAE=90°-∠AME=90°-75°=15°，
又∵∠DAE=∠MAE，
∴∠DAE=15°．