Question

设n阶矩阵A和B满足条件A+B=AB．（1）证明A-E为可逆矩阵（其中E是n阶单位矩阵）；（2）已知B=1-30210002，

设n阶矩阵A和B满足条件A+B=AB．（1）证明A-E为可逆矩阵（其中E是n阶单位矩阵）；（2）已知B=1-30210002，求矩阵A．

Answer 1

解答过程如下：

单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0。

根据单位矩阵的特点，任何矩阵与单位矩阵相乘都等于本身，而且单位矩阵因此独特性在高等数学中也有广泛应用。

扩展资料

矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

参考资料：百度百科可逆矩阵

Answer 2

（1）由A+B=AB，加项后因式分解得有AB-B-A+E=（A-E）（B-E）=E，
所以A-E可逆，且（A-E）^-1=B-E；
（2）由（1）得，（B-E）^-1=A-E，即
A=E+（B-E）^-1．
利用分块矩阵求逆的法则：

A 0 0 B

)-1=

A-1 0 0 B-1

，
有(B-E)-1=

0 -3 0 2 0 0 0 0 1

]-1=

A 0 0 1

]-1=

A-1 0 0 1

利用2阶矩阵快速求逆法得
A-1=

0 1 2 - 1 3 0

，
故（B-E）^-1=

0 1 2 0 - 1 3 0 0 0 0 1

，
故
A=E+(B-E)-1=

1 1 2 0 - 1 3 1 0 0 0 2

．

Answer 3

简单计算一下即可，详情如图所示

Answer 4

（1）∵(A－E)(B－E)＝AB－A－B+E
∴(A－E)(B－E)＝E
∴A－E可逆，并且逆矩阵为B－E

（2）∵A+B＝AB
∴A（B－E）＝B
这样后面应该会了吧

（3） 由(A－E)(B－E)＝(B－E)(A
－E)＝E
∴AB－A－B+E＝BA－B－A+E
∴AB＝BA