Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=AP=2，AD=4，E、F依次是PB、PC的中点．（1）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=AP=2，AD=4，E、F依次是PB、PC的中点．（1）求证：PB⊥平面AEFD；（2）求直线EC与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

解答：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形
∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB
∵E是PB的中点，AB=AP，∴AE⊥PB
∵AB∩AE=A，
∴PB⊥平面AEFD…（6分）
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，
又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，…（8分）
取PA中点G，CD中点H，连接EG、GH、GD，
则EG∥AB∥CD且EG＝

1

2

AB＝1，
∴EGHC是平行四边形，∴EC∥HG
∴∠HGD即为直线EC与平面PAD所成的角…（12分）
在Rt△GAD中，GH＝

18

，sin∠HGD＝

HD

GH

＝

1

18

＝

2

6

，
∴直线EC与平面PAD所成角的正弦值为

2

6

…（14分）