Question

设f（x）是偶函数，且当x≥0时， f(x)= x(3-x)，0≤x≤3 (x-3)(a-x)，x＞3

设f（x）是偶函数，且当x≥0时， f(x)= x(3-x)，0≤x≤3 (x-3)(a-x)，x＞3 ．（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；（2）设函数f（x）在区间[-5，5]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式．

Answer 1

（1）由题意得，当-3≤x＜0时，f（x）=f（-x）=（-x）（3+x）=-x（x+3）， 同理，当x＜-3时，f（x）=f（-x）=（-x-3）（a+x）=-（x+3）（a+x）， 所以，当x＜0时，f（x）的解析式为f（x）= -x(x+3)，-3≤x＜0 -(x+3)(a+x)，x＜-3 ； （2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[-5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值， ①当a≤3时，f（x）在[0， 3 2 ]上单调递增，在[ 3 2 ，+∞）上单调递减， 所以g（a）=f（ 3 2 ）= 9 4 ； ②当3＜a≤7时，f（x）在[0， 3 2 ]与[3， 3+a 2 ]上单调递增，在[ 3 2 ，3]与[ 3+a 2 ，5]上单调递减， 所以此时只需比较f（ 3 2 ）= 9 4 与f（ 3+a 2 ）= (a-3 ) 2 4 的大小． 1°当3＜a≤6时，f（ 3 2 ）= 9 4 ≥f（ 3+a 2 ）= (a-3 ) 2 4 ，所以g（a）=f（ 3 2 ）= 9 4 ， 2°当6＜a≤7时，f（ 3 2 ）= 9 4 ＜f（ 3+a 2 ）= (a-3 ) 2 4 ，所以g（a）=f（ 3+a 2 ）= (a-3 ) 2 4 ， 3°当a＞7时，f（x）在[0， 3 2 ]与[3，5]上单调递增，在[ 3 2 ，3]上单调递减， 且f（ 3 2 ）= 9 4 ＜f（5）=2（a-5），所以g（a）=f（5）=2（a-5）， 综上所述，g（a）= 9 4 ，a≤6 (a-3 ) 2 4 ，6＜a≤7 2(a-5)，a＞7 ．