Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+2n=2an．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若数列{bn}满足bn=nlog2

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+2n=2an．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若数列{bn}满足bn=nlog2（an+2），求数列{1bn}的前n项和Tn．

Answer 1

证明：（1）由S_n+2n=2a_n
得S_n=2a_n-2n，
当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n，①
当n=1时，S₁=2a₁-2，则a₁=2．
则当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），②
①-②得a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
∴

an+2

an?1+2

=2，
∴{a_n+2}是以a₁+2=4为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n+2=4?2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2，
（2）证明：∵a_n=2ⁿ⁺¹-2，
∴b_n=nlog₂（a_n+2）=n（n+1），

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

，
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．