Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．（1）若函数y=f（x

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．（1）若函数y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）表达式；（2）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²+2ax+b
∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
∴

f′(1)＝3 f(1)＝4

即

3+2a+b＝3 1+a+b+c＝4

∵函数y=f（x）在x=-2时有极值
∴f′（-2）=0即-4a+b=-12
∴

3+2a+b＝3 1+a+b+c＝4 ?4a+b＝?12

解得a=2，b=-4，c=5
∴f（x）=x³+2x²-4x+5
（2）由（1）知，2a+b=0
∴f′（x）=3x²-bx+b
∵函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增
∴f′（x）≥0即3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立
①当x＝

b

6

≥1时f′（x）的最小值为f′（1）=1-b+b≥0∴b≥6
②当x＝

b

6

≤?2时，f′(x)的最小值为f′（-2）=12+2b+b≥0∴b∈?
③?2＜

b

6

＜1时，f′（x）的最小值为

12b?b2

12

≥0
∴0≤b≤6
总之b的取值范围是0≤b≤6