Question

（2013?镇江二模）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线

（2013?镇江二模）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=4，tan∠ABD=12，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：连OD，OE，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，
而∠CBD=∠1，
∴∠1=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵EB为⊙O的切线，
∴ED=EB，OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠OEB，
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA=

1

2

，
∴tan∠OEB=

OB

BE

=

1

2

，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴

CD

CB

=

OD

BE

=

OB

BE

=

1

2

，
∴CD=

1

2

?4=2，
在Rt△CBE中，设BE=x，
∴（x+2）²=x²+4²，
解得x=3．
即BE的长为3．