Question

已知数列{an}，其前n项和为Sn．（1）若对任意的n∈N，a2n-1，a2n+1，a2n组成公差为4的等差数列，且a1＝1

已知数列{an}，其前n项和为Sn．（1）若对任意的n∈N，a2n-1，a2n+1，a2n组成公差为4的等差数列，且a1＝1，S2n2n＝2013，求n的值；（2）若数列{Snan+a}是公比为q（q≠-1）的等比数列，a为常数，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝1+1a．

Answer 1

（1）因为a_2n-1，a_2n+1，a_2n组成公差为4的等差数列，
所以a_2n+1-a_2n-1=4，a_2n=a_2n-1+8（n∈N^*），…（2分）
所以a₁，a₃，a₅，…a_2n-1，a_2n+1是公差为4的等差数列，且a₂+a₄+a₆+…+a_2n=a₁+a₃+…+a_2n-1+8n，…（4分）
又因为a₁=1，
所以S_2n=2（a₁+a₃+…+a_2n-1）+8n
=2[n+

n(n?1)

2

×4]+8n=4n²+6n=2n（2n+3），
所以

S2n

2n

=2n+3=2013，所以n=1005．…（6分）
（2）因为

Sn

an

+a=（a+1）q^n-1，所以S_n=（a+1）q^n-1a_n-aa_n，①
所以S_n+1=（a+1）qⁿa_n+1-aa_n+1，②
②-①，得（a+1）（1-qⁿ）a_n+1=[a-（a+1）q^n-1]a_n，③…（8分）
（ⅰ）充分性：因为q=1+

1

a

，所以a≠0，q≠1，a+1≠aq，代入③式，得
q（1-qⁿ）a_n+1=（1-qⁿ）a_n，因为q≠-1，q≠1，
所以

an+1

an

=

1

q

，n∈N^*，所以{a_n}为等比数列，…（12分）
（ⅱ）必要性：设{a_n}的公比为q₀，则由③得（a+1）（1-qⁿ）q₀=a-（a+1）q^n-1，
整理得（a+1）q₀-a=（a+1）（q₀-

1

q

）qⁿ，…（14分）
此式为关于n的恒等式，若q=1，则左边=0，右边=-1，矛盾；
若q≠±1，当且仅当

(a+1)q0＝a (a+1)q0＝(a+1) 1 q

时成立，所以q=1+

1

a

．
由（ⅰ）、（ⅱ）可知，数列{a_n}为等比数列的充要条件为q=1+

1

a

．…（16分）