Question

已知数列{an}的前n项和为sn，a1=1，数列｛an+sn｝是公差为2的等差数列

1 求a2，a3 2证明数列｛an-2｝为等差数列 3求数列｛nan｝的前n项和sn

Answer 1

1 数列｛an+sn｝是公差为2的等差数列，数列｛an+sn｝首项a1+s1=2a1=2，数列｛an+sn｝的通项=2+2(n-1)=2n，a2+s2=a2+a2+a1=4，a2=3/2，a3+s3=a3+a3+a2+a1=6，a3=7/4；
2.an+sn=2n，a(n-1)+s(n-1)=2n-2，前式减后式得：an-a(n-1)+an=2，2(an-2)=a(n-1)-2，(an-2)/[a(n-1)-2]=1/2，数列｛an-2｝是公比q=1/2，首项为-1的等比数列，通项公式=-(1/2)^(n-1)；
3.数列｛nan｝，an-2=-(1/2)^(n-1)，an=2-(1/2)^(n-1)，nan=2n-n(1/2)^(n-1)，数列｛nan｝的前n项和，看成数列{2n}的前n项和减去数列{n(1/2)^(n-1)}的前n项和的差，数列{2n}的前n项和=n(n+1)，设q为数列{n(1/2)^(n-1)}的前n项和，q=1/1+2/2+3/2²+┄┄+n/2^(n-1)，q/2=1/2+2/2²+3/2³+┄┄+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n，前式减后式得：q/2=1+1/2+1/2²+┄┄+1/2^(n-1)-n/2^n=2(1-1/2^n)-n/2^n=2-(n+2)/2^n，q=4-(n+2)/2^(n-1)，sn=n(n+1)+(n+2)/2^(n-1)-4。