如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证
如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．...
如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．
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解答：证明：（1）连接AC，BD，设AC∩BD=0，连接NO，MO，则NO∥PA．
∵PA⊥平面ABCD，
∴NO⊥平面ABCD，
∴NO⊥AB，
∵MO⊥AB，
∴AB⊥面MNO
∴MN⊥AB，而CD∥AB，
∴MN⊥CD…（6分）
（2）∵∠PDA=45°
∴PA=AD=BC，由△PAM≌△CMB，
得PM=CM，
又∵N为PC的中点，
∴MN⊥PC
又MN⊥CD，PC∩CD=C
∴MN⊥平面PCD …（12分）
∵PA⊥平面ABCD，
∴NO⊥平面ABCD，
∴NO⊥AB，
∵MO⊥AB，
∴AB⊥面MNO
∴MN⊥AB，而CD∥AB，
∴MN⊥CD…（6分）
（2）∵∠PDA=45°
∴PA=AD=BC，由△PAM≌△CMB，
得PM=CM，
又∵N为PC的中点，
∴MN⊥PC
又MN⊥CD，PC∩CD=C
∴MN⊥平面PCD …（12分）
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