Question

如图甲，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG，PC

如图甲，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG，PC．（1）如图甲中，PG与PC的位置关系是______，数量关系是______；（2）如图乙将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，求证：PG=PC．

Answer 1

解答：证明：（1）PG⊥PC，PG=PC；
延长GP交CD于H，

∵P是DF中点，∴DP=FP，
∵点ABE在同一直线上，
∴DC∥GF，
∴∠FDC=∠GFP，
∵在△DPH和△GPF中，

∠FDC＝∠GFP DP＝FP ∠DPH＝∠FPG

，
∴△DPH≌△GPF（ASA）
∴HP=GP，GF=DH，
∴CH=CG，
又∵∠HCG=90°，
∴RT△HCG中，P为HG中点，
∴PC=

1

2

GH=PG，PC⊥PG；
（2）延长GP交CD于H，

∵P是DF中点，∴DP=FP，
∵点ABE在同一直线上，
∴DC∥GF，
∴∠FDC=∠GFP
∵在△DPH和△GPF中，

∠FDC＝∠GFP DP＝FP ∠DPH＝∠FPG

，
∠HPD=∠GPF，
∴△DPH≌△GPF（ASA）
∴HP=GP，
又∵∠HCG=90°，
∴RT△HCG中，P为HG中点，
∴PC=

1

2

GH=PG，
即：PG=PC．