Question

如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，且DBDP=DCDO=23．（1）求证：

如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，且DBDP=DCDO=23．（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求tan∠PDA的值．

Answer 1

（1）证明：连接OB，OP，
∵

DB

DP

=

DC

DO

=

2

3

，
∴BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠POA=∠POB，
在△BPO和△APO中，

OB＝OA ∠BOP＝∠AOP OP＝OP

，
∴△BPO≌△APO（SAS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
则直线BP为圆O的切线；

（2）解：∵∠OBP=∠OAP=90°，
∴OB⊥PB，OA⊥AP，
∴PB=PA，
设PB=PA=x，则有DB=2x，即DP=DB+BP=3x，
在Rt△PAD中，根据勾股定理得：AD=

PD2?PA2

=2

2

x，
则tan∠PDA=

PA

AD

=

x

2 2 x

=

2

4

．