Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC； （Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长。

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD， 又因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥BD， 所以BD⊥平面PAC。
（Ⅱ）解：设AC∩BD=O， 因为∠BAD=60°，PA=PB=2， 所以BO=1，AO=CO= ， 如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz， 则 P（0， ，2），A（0， ，0），B（1，0，0）， C（0， ，0）， 所以 ， 设PB与AC所成角为θ， 则 ； （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知 ， 设P（0， ，t）（t＞0）， 则 ， 设平面PBC的法向量m=（x，y，z）， 则 ， 所以 ， 令 ， 则 ， 所以 ， 同理，平面PDC的法向量 ， 因为平面PCB⊥平面PDC， 所以 =0， 即 ， 解得t= ， 所以PA= 。