Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：CD⊥P

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：CD⊥PD；（2）求证：EF∥平面PAD；（3）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？

Answer 1

证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵CD⊥AD，CD⊥平面PAD．
∴CD⊥PD．（4分）
（2）取PD中点M，连接FM，AM，
∵F为PC中点
∴FM∥CD，FM＝

1

2

CD
∵E为AB中点，ABCD为矩形，
∴AE∥CD，AE＝

1

2

CD，
∴AE∥FM，AE=FM，
∴AEFM是平行四边形，
∴EF∥AM，
∵AM?平面PAD，
∴EF∥平面PAD，（8分）
解：（3）取CD中点G，连接FG，EG
∵E，G为矩形ABCD中AB，CD中点，
∴EG⊥CD．
∵F，G为PC，CD中点，
∴FG∥PD，FG＝

1

2

PD，
∵PD⊥CD，
∴FG⊥CD．
∴∠FGE为二面角P-CD-A的平面角
∵∠PAD=90°，M为PD中点，
∴EF=AM=

1

2

PD，
∴EF=FG
又∵FG⊥CD，EG⊥CD，FG∩EG=G，
∴CD⊥平面EFG，
∵EF?平面EFG，
∴CD⊥EF，
∵FG?面PCD，CD?面PCD，FG∩CD=G，
∴当EF⊥FG即∠EFG=90°时，EF⊥面PCD，此时∠FGE=45°（12分）