Question

已知函数f（x）=sin（x+7π4）+cos（x-3π4），x∈R（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知cos

已知函数f（x）=sin（x+7π4）+cos（x-3π4），x∈R（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知cos（β-α）=45，cos（β+α）=-45.0＜α＜β≤π2，求证：[f（β）]2-2=0．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=sin（x+

7π

4

）+cos（x-

3π

4

）=sin（x-

π

4

）+sin（x-

π

4

）=2sin（x-

π

4

）
∴T=2π，最小值为-2
（Ⅱ）∵cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=

4

5

，cos（β+α）=cosβcosα-sinβsinα=-

4

5

，
两式相加得2cosβcosα=0，
∵0＜α＜β≤

π

2

，
∴β=

π

2

∴[f（β）]²-2=4sin²

π

4

-2=0