Question

已知函数f（x）=sin（x+7π4）+cos（x-3π4），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和最值；（2）已知cos（

已知函数f（x）=sin（x+7π4）+cos（x-3π4），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和最值；（2）已知cos（β-α）=45，cos（β+α）=-45，（0＜α＜β≤π2），求证：[f（β）]2-2=0．

Answer 1

解答：（1）解：函数f（x）=sin（x+

7π

4

）+cos（x-

3π

4

）
=sinxcos

7π

4

+cosxsin

7π

4

+cosxcos

3π

4

+sinxsin

3π

4

=

2

2

sinx-

2

2

cosx-

2

2

cosx+

2

2

sinx=

2

sinx-

2

cosx
=2sin（x-

π

4

），
∴f（x）的最小正周期为π，f（x）_max=2，f（x）_min=-2；
（2）证明：cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=

4

5

，
cos（β+α）=cosβcosα-sinβsinα=-

4

5

，
两式相加，得cosβcosα=0，
又0＜α＜β≤

π

2

，
则cosα∈（0，1），cosβ=0，β=

π

2

，
f（β）=2sin

π

4

=

2

，
∴[f（β）]²-2=0．