Question

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）若y=f（x）在[-π4，2π3]上单调递增，求ω的取值范围；

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）若y=f（x）在[-π4，2π3]上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

（1）∵函数y=f（x）在[?

π

4

，

2π

3

]上单调递增，且ω＞0，
∴

π

2ω

≥

2π

3

，且?

π

2ω

≤?

π

4

，
解得0＜ω≤

3

4

．
（2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin2(x+

π

6

)+1，
∴函数y=g（x）=2sin2(x+

π

6

)+1，
令g（x）=0，得x＝kπ+

5π

12

，或x=kπ+

3π

4

（k∈Z）．
∴相邻两个零点之间的距离为

π

3

或

2π

3

．
若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N^*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，
所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，
∴b?a?14π≥

π

3

．
另一方面，在区间[

5π

12

，14π+

π

3

+

5π

12

]恰有30个零点，
因此b-a的最小值为14π+

π

3

＝

43π

3

．