Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝n2+n(n∈N*)．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn＝2(n+1)an

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝n2+n(n∈N*)．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn＝2(n+1)an，求数列{bn}的前n项和Tn；（Ⅲ）若?n∈N*，使Tn＜C成立，求实数C的取值范围．

Answer 1

（I）当n=1时，a₁=S₁=1+n=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+n-1]=2n．当n=1时也成立．
∴an＝2n(n∈N*)．
（II）∵bn＝

2

(n+1)an

=

2

2n(n+1)

＝

1

n

?

1

n+1

．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n

?

1

n+1

)
=1?

1

n+1

=

n

n+1

．
（III）若?n∈N^*，使T_n＜C成立?（T_n）_min＜C，
∵n≥1，Tn＝1?

1

n+1

≥1?

1

1+1

＝

1

2

，即(Tn)min＝

1

2

．
∴实数C的取值范围是(

1

2

，+∞)．