Question

已知函数f（x）=lnx+2x（1）判断f（x）的单调性并用定义证明；（2）设g(x)＝lnx+2x?2，若对任意x1∈（0，

已知函数f（x）=lnx+2x（1）判断f（x）的单调性并用定义证明；（2）设g(x)＝lnx+2x?2，若对任意x1∈（0，1），存在x2∈（k，k+1）（k∈N），使f（x1）＜g（x2），求实数k的最大值．

Answer 1

（1）增函数     …（1分）
因为函数的定义域为（0，+∞），
设x₁＞x₂＞0…（2分）
则f（x₁）-f（x₂）=lnx₁-lnx₂+2（x₁-x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）是增函数      …（4分）
（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）是增函数
∴f（x₁）＜f（1）=2…（6分）
令g（x₂）≥2即ln

x2+2

x2?2

≥2即x2+2≥e2(x2?2)
得x2≤

2e2+2

e2?1

＝

2(e2?1)+4

e2?1

＝2+

4

e2?1

∵2+

4

e2?1

∈(2，3)…（8分）
∴k_max=2…（10分）