Question

已知双曲线C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），且离心率为2；（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）若经过点M

已知双曲线C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），且离心率为2；（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）若经过点M（1，3）的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）设双曲线方程为

x2

a2

?

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），且c=2，
由于离心率为2，即

c

a

=2，即a=1，
b=

c2?a2

=

3

，
则双曲线方程为x²-

y2

3

=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x12?

y12

3

=1，x22?

y22

3

=1．两式相减得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）=

1

3

（y₁-y₂）（y₁+y₂），
由于M为AB的中点，则x₁+x₂=2，y₁+y₂=6，
得直线AB的斜率k_AB=

y1?y2

x1?x2

=1，
∴直线l的方程为y-3=x-1即y=x+2，代入方程x²-

y2

3

=1，
得2x²-4x-7=0，△=4²-4×2×（-7）=72＞0，
故所求的直线方程为y=x+2．