Question

已知二次函数f（x）=ax2+2x+c的最小值为-1，且对任意x都有f（-1+x）=f（-1-x）．（1）求函数f（x）的解析

已知二次函数f（x）=ax2+2x+c的最小值为-1，且对任意x都有f（-1+x）=f（-1-x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（-x）-λf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是减函数，求实数λ的取值范围；（3）设函数h（x）=log2[p-f（x）]，若此函数是定义域为非空数集，且不存在零点，求实数p的取值范围．

Answer 1

（1）已知二次函数f（x）=ax²+2x+c的最小值为-1，
则：

4ac?4

4a

＝?1
对任意x都有f（-1+x）=f（-1-x）．
?

2

2a

＝?1
解得：a=1  c=0
故函数解析式为：f（x）=x²+2x
（2）由（1）得：f（x）=x²+2x
由于g（x）=f（-x）-λf（x）+1
则：g（x）=（λ+1）x²+（2λ-2）x+1
g（x）在[-1，1]上是减函数
则：①当λ=-1时，g（x）=-4x+1，g（x）在[-1，1]上是减函数
②当λ＞-1时g（x）=（λ+1）x²+（2λ-2）x+1是开口方向向上的抛物线
-

2λ?2

2(λ+1)

≥1解得：-1＜λ≤0
故：-1＜λ≤0
③当λ＜-1时g（x）=（λ+1）x²+（2λ-2）x+1是开口方向向下的抛物线

2λ?2

2(λ+1)

≤?1解得：λ＜-1
故：λ＜-1
综上所述：λ≤0
（3）函数h（x）=log₂[p-f（x）]，若此函数是定义域为非空数集，且不存在零点
只需满足：P＞（x²+2x）_min=1即可
即p＞0