Question

如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的

如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC∽△A₁B₁C₁，且相似比为k（k＞1），
∴

a

a1

=k，a=ka₁；
又∵c=a₁，
∴a=kc；

（2）解：取a=8，b=6，c=4，同时取a₁=4，b₁=3，c₁=2；
此时

a

a1

＝

b

b1

＝

c

c1

=2，
∴△ABC∽△A₁B₁C₁且c=a₁；

（3）解：不存在这样的△ABC和△A₁B₁C₁，理由如下：
若k=2，则a=2a₁，b=2b₁，c=2c₁；
又∵b=a₁，c=b₁，
∴a=2a₁=2b=4b₁=4c；
∴b=2c；
∴b+c=2c+c＜4c，4c=a，b+c＜a，而应该是b+c＞a；
故不存在这样的△ABC和△A₁B₁C₁，使得k=2．