Question

已知：关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）如果该方程

已知：关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值；（3）在（2）的条件下，令y=mx2+（3m+1）x+3，如果当x1=a与x2=a+n（n≠0）时有y1=y2，求代数式4a2+12an+5n2+16n+8的值．

Answer 1

（1）证明：当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根 x=-3；
当m≠0时，
∵△=（3m+1）²-12m=9m²-6m+1=（3m-1）²．
∵（3m-1）²≥0，
∴不论m为任何实数时总有两个实数根，
综上所述，不论m为任何实数时，方程 mx²+（3m+1）x+3=0总有实数根；
（2）解：当m≠0时，解方程mx²+（3m+1）x+3=0得 x₁=-3，x₂=?

1

m

，
∵方程mx²+（3m+1）x+3=0有两个不同的整数根，且m为正整数，
∴m=1；
（3）解：∵m=1，y=mx²+（3m+1）x+3，
∴y=x²+4x+3，
又∵当x₁=a与x₂=a+n（n≠0）时有y₁=y₂，
∴当x₁=a时，y₁=a²+4a+3，
当x₂=a+n时，y₂=（a+n）²+4（a+n）+3，
∴a²+4a+3=（a+n）²+4（a+n）+3，
化简得 2an+n²+4n=0，
即 n（2a+n+4）=0，
又∵n≠0，
∴2a=-n-4，
∴4a²+12an+5n²+16n+8
=（2a）²+2a?6n+5n²+16n+8
=（n+4）²+6n（-n-4）+5n²+16n+8
=24．