Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DF⊥ AC于F．（1）

如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DF⊥ AC于F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若DE= 5 2 ，AB= 5 2 ，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：连接AD，OD； ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， 即AD⊥BC； ∵AB=AC， ∴BD=DC． ∵OA=OB， ∴OD ∥ AC． ∵DF⊥AC， ∴DF⊥OD． ∴∠ODF=∠DFA=90°， ∴DF为⊙O的切线． （2）连接BE交OD于G； ∵AC=AB，AD⊥BC，ED=BD， ∴∠EAD=∠BAD． ∴ ED = BD ． ∴ED=BD，OE=OB． ∴OD垂直平分EB． ∴EG=BG． 又AO=BO， ∴OG= 1 2 AE． 在Rt△DGB和Rt△OGB中， BD 2 -DG 2 =BO 2 -OG 2 ∴（ 5 2 ） 2 -（ 5 4 -OG） 2 =BO 2 -OG 2 解得：OG= 3 4 ． ∴AE=2OG= 3 2 ．