Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径．动点P从点A开始

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径．动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t，求：（1）t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？（2）t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切、相离、相交？

Answer 1

（1）因为AD∥BC，
所以，只要QC=PD，则四边形PQCD为平行四边形，
此时有，3t=24-t，
解得t=6，
所以t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形．
又由题意得，只要PQ=CD，PD≠QC，四边形PQCD为等腰梯形，
过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F两点，
则由等腰梯形的性质可知，EF=PD，QE=FC=2，
所以3t-（24-t）=4，
解得t=7秒所以当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形．

（2）设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点G，过P作PH⊥BC于点H，
则PH=AB=8，BH=AP，
可得HQ=26-3t-t=26-4t，
由切线长定理得，AP=PG，QG=BQ，
则PQ=PG+QG=AP+BQ=t+26-3t=26-2t
由勾股定理得：PQ²=PH²+HQ²，即 （26-2t）²=8²+（26-4t）²
化简整理得 3t²-26t+16=0，
解得t₁=

2

3

或 t₂=8，
所以，当t₁=

2

3

或 t₂=8时直线PQ与⊙O相切．
因为t=0秒时，直线PQ与⊙O相交，
当t=

26

3

秒时，Q点运动到B点，P点尚未运动到D点，但也停止运动，直线PQ也与⊙O相交，
所以可得以下结论：
当t₁=

2

3

或 t₂=8秒时，直线PQ与⊙O相切；
当0≤t＜

2

3

或8＜t≤

26

3

（单位秒）时，直线PQ与⊙O相交；
当

2

3

＜t＜8时，直线PQ与⊙O相离．