已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点(1 ， 32)在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点(1，32)在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量d＝(2，1)的直线...
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点(1 ， 32)在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量d＝(2 ， 1)的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．
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（1）解：∵C的焦点在x轴上且长轴为4，
故可设椭圆C的方程为
+
＝1（a＞b＞0），
∵点(1 ，
)在椭圆C上，∴
+
＝1，
解得b2=1，
∴椭圆C的方程为
+y2＝1．
（2）证明：设P（m，0）（-2≤m≤2），
∵直线l方向向量
＝(2 ， 1)，
∴直线l的方程是y＝
，
联立
?2x2-2mx+m2-4=0（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，
∴x1+x2=m，x1x2＝
，
∴|PA|2+|PB|2＝(x1?m)2+
故可设椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| b2 |
∵点(1 ，
| ||
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4b2 |
解得b2=1，
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
（2）证明：设P（m，0）（-2≤m≤2），
∵直线l方向向量
| d |
∴直线l的方程是y＝
| x?m |
| 2 |
联立
|
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，
∴x1+x2=m，x1x2＝
| m2?4 |
| 2 |
∴|PA|2+|PB|2＝(x1?m)2+
| y |
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