Question

已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，其长轴长为4，焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过点（-1，0

已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，其长轴长为4，焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过点（-1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求△F2PQ的内切圆面积的最大值．

Answer 1

（1）∵椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，其长轴长为4，焦距为2，
∴a=2，c=1，
∴b＝

a2?c2

=

3

，
∴椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

＝1-----------------------（4分）
（2）由（1）知F₁（-1，0），过点F₁（-1，0）的直线与椭圆C交于P，Q两点，则△F₂PQ的周长为4a=8，
∴S△F2PQ＝

1

2

?4a?r（r为三角形内切圆半径），
∴当△F₂PQ的面积最大时，其内切圆面积最大．-----------------------（5分）
设直线l方程为：x=ky-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x＝ky?1 x2 4 + y2 3 ＝1

?(4+3k2)y2?6ky?9＝0?

y1+y2＝ 6k 3k2+4 y1?y2＝? 9 3k2+4

-----------------（7分）
∴S△F2PQ＝

1

2

?|F1F2|?|y1?y2|＝

12 k2+1

3k2+4

-------------------（9分）
令

k2+1

＝t，则t≥1，所以S△F2PQ＝

12

3t+ 1 t

，而3t+

1

t

在[1，+∞）上单调递增，
∴S△F2PQ＝

12

3t+ 1 t

≤3，当t=1时取等号，即当k=0时，△F₂PQ的面积最大值为3，
结合S△F2PQ＝

1

2

?4a?r＝3，得r的最大值为

3

4

，
∴S＝πr2＝

9

16

π-----------------（12分）