Question

设an=1+q+q2+q3+…+qn-1，An=cn1a1+cn2a2+cn3a3+…+cnnan，且-3＜q＜1，则limn→∞An2n的值为（　　）A．

设an=1+q+q2+q3+…+qn-1，An=cn1a1+cn2a2+cn3a3+…+cnnan，且-3＜q＜1，则limn→∞An2n的值为（　　）A．1qB．11?qC．qD．1-q

Answer 1

因为q≠1，
所以a_n=1+q+q²+…+q^n-1=

1?qn

1?q

．
于是A_n=

1?q

1?q

C_n¹+

1?q2

1?q

C_n²+…+

1?qn

1?q

C_nⁿ
=

1

1?q

[（C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）-（C_n¹q+C_n²q²+…+C_nⁿqⁿ）]
=

1

1?q

{（2ⁿ-1）-[（1+q）ⁿ-1]}
=

1

1?q

[2ⁿ-（1+q）ⁿ]．
∴

An

2n

=

1

1?q

[1-（

1+q

2

）ⁿ]．
因为-3＜q＜1，且q≠-1，
所以0＜|

1+q

2

|＜1．
所以

lim

n→∞

An

2n

=

1

1?q

．