Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，nan+1=Sn+n(n+1)3．从{an}中抽出部分项ak1，ak2，…，akn，…，（k1

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，nan+1=Sn+n(n+1)3．从{an}中抽出部分项ak1，ak2，…，akn，…，（k1＜k2＜…＜kn＜…）组成的数列{akn}是等比数列，设该等比数列的公比为2，其中k1=1，n∈N*．（Ⅰ）求证数列{an}是等差数列，并求an；（Ⅱ）求数列{an（kn+2）}的前n项和．

Answer 1

解答：证明：（Ⅰ）由已知条件知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，na_n+1=S_n+

n(n+1)

3

①．
则：(n?1)an＝Sn?1+

n(n?1)

3

②
所以：①-②得：nan+1?nan＝

2n

3

解得：an+1?an＝

2

3

所以数列{a_n}是等差数列．
解：（Ⅱ）由于an+1?an＝

2

3

an＝2+

2

3

(n?1)=

2n

3

+

4

3

从{a_n}中抽出部分项a_k1，a_k2，…，a_kn，…，组成的数列{a_kn}是等比数列，
设该等比数列的公比为2，其中k₁=1
所以：an＝2?2n?1
由于在某一项是对应相等
所以：

2m

3

+

4

3

＝2?2n?1
解得：m=3?2^n-1-2
即：kn＝3?2n?1?2
设c_n=a_n?（k_n+2）=（n+2）2ⁿ
T_n=c₁+c₂+…+c_n
T_n=3?2¹+4?2²+…+（n+1）2^n-1+（n+2）2ⁿ①
2Tn＝3?22+…+(n+1)2n+（n+2）2ⁿ⁺¹②
所以：①-②得：
Tn＝(n+2)2n+1?2n+1?2+4
即：Tn＝(n+1)2n+1?2n+1+2