Question

已知数列{an}的前n项和Sn=n(1+an)2（n=1，2，3，…）（1）求a1的值；（2）求证：（n-2）an+1=（n-1）an-1

已知数列{an}的前n项和Sn=n(1+an)2（n=1，2，3，…）（1）求a1的值；（2）求证：（n-2）an+1=（n-1）an-1（n≥2）；（3）判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由．

Answer 1

解答：（1）解：由S_n=

n(1+an)

2

，得a1＝S1＝

1+a1

2

，解得a₁=1；
（2）证明：∵S_n=

n(1+an)

2

，
∴Sn?1＝

(n?1)(1+an?1)

2

(n≥2)．
两式作差得：an＝

nan+1?(n?1)an?1

2

，
即（n-2）a_n+1=（n-1）a_n-1（n≥2）；
（3）数列{a_n}是等差数列．
事实上，
由S_n=

n(1+an)

2

，
∴Sn?1＝

(n?1)(1+an?1)

2

(n≥2)．
Sn?2＝

(n?2)(1+an?2)

2

(n≥3)．
由（2）可得，an?1＝Sn?1?Sn?2＝

(n?1)an?1+1?(n?2)an?2

2

（n≥3）．
∴an?an?1＝

nan?2(n?1)an?1+(n?2)an?2

2

．
即（n-2）a_n-2（n-2）a_n-1+（n-2）a_n-2=0．
∵n≥3，
∴a_n-2a_n-1+a_n-2=0，即a_n-a_n-1=a_n-1-a_n-2（n≥3）．
∴数列{a_n}是以1为首项，a₂-1为公差的等差数列．