Question

如果一个函数n阶可导，且在x0点前n-1阶导数都等于0，第n阶导数不为0，当n为偶数时，

则x0为极值点，如果n阶导数大于0，则为极小值点，反之为极大值点，当n为奇数时，（x0，f（x0））为拐点 。这怎么证明？

Answer 1

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+……+fn(x0)/n!*(x-x0)^n+o(x-x0)^n
=fn(x0)/n!*(x-x0)^n+o（(x-x0)^n）
n为偶数，则(x-x0)^n>=0。fn(x0)>0 则x0附近f(x)>=f(x0)，为极小值；fn(x0)<0显然f(x)<=f(x0)，极大。
n为奇数时，显然(x-x0)^n在x0附近变号，由于(x-x0)^n在x0处是拐点，故x0是f(x)拐点。
ps：关于(x-x0)^n在x0处是拐点，等价于x^n在0处是拐点。只需证明x^n在0两边凹凸性不同。
易知x>0时任意x1≠x2，(x1^n+x2^n)/2>[(x1+x2)/2]^n；
x<0时任意x1≠x2，(x1^n+x2^n)/2<[(x1+x2)/2]^n。事实上，令这时x1=-x3,x2=-x4，即转化为x>0的情况。
以下给出x>0时任意x1≠x2，(x1^n+x2^n)/2>[(x1+x2)/2]^n的证明：
取对数，等价于证明f(x1)=ln(x1^n+x2^n)-ln2-nln[x1+x2]+nln2
f'=nx2[x1^(n-1)-x2^(n-1)]/[x1^n+x2^n]
明显f在(0,x2)递减，在(x2,+∞)递增。故f(x)>f(x2)=0 (x≠x2)