Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，求∠ABC的大小

如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，求∠ABC的大小．

Answer 1

∵AD⊥BC，BE⊥AC（已知），
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°（垂直定义），
又∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），
∴△AEF∽△BDF（两对对应角相等的两三角形相似），
∴∠FAE=∠FBD（相似三角形的对应角相等），
在△BFD和△ACD中，

∠BDA＝∠ADC(已证) ∠FBD＝∠FAE(已证) BF＝AC(已知)

，
∴△BFD≌△ACD（AAS），
∴BD=AD（全等三角形的对应边相等），
∴∠BAD=∠ABD（等边对等角），
又∵∠ADB=90°（已证），
∴∠ABC=

180°?90°

2

=45°（三角形的内角和定理）．